(8 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 39: Line 39:
 
<math>\mathbf{c)}\quad If \quad we \quad want \quad t  \to \infty, X(t) \to0</math>
 
<math>\mathbf{c)}\quad If \quad we \quad want \quad t  \to \infty, X(t) \to0</math>
  
−
<math>\quad  Model 1 \quad and \quad   Model 3 \quad need \quad to \quad be \quad zero.</math>
+
<math>\quad  Model \quad 1 \quad and \quad  Model \quad3 \quad need \quad to \quad be \quad zero.</math>
  
−
   <math>\omega_1^T X_[0]=0</math>
+
   <math>\omega_1^T X[0]=0</math>
  
−
   <math>\omega_3^T X_[0]=0</math>
+
   <math>\omega_3^T X[0]=0</math>
  
 
<math>\begin{bmatrix}
 
<math>\begin{bmatrix}
 
-2 & -\frac{1}{2} &-\frac{3}{2}\\
 
-2 & -\frac{1}{2} &-\frac{3}{2}\\
−
-1 & 0 & -1 \\\end{bmatrix}\quad X_[0]=0</math>
+
-1 & 0 & -1 \\\end{bmatrix} X[0]=0</math>
  
 
<math>\quad\therefore\quad X_1=-X_3  , X_2=X_3</math>
 
<math>\quad\therefore\quad X_1=-X_3  , X_2=X_3</math>
  
−
<math>\quad \therefore \quad X_[0]=\quad X_3\begin{bmatrix}
+
<math>\quad \therefore \quad X[0]=X_3\begin{bmatrix}
 
-1 \\
 
-1 \\
 
1 \\
 
1 \\
Line 66: Line 66:
 
<math>\quad If \quad we \quad want \quad to\quad remain\quad bounded</math>
 
<math>\quad If \quad we \quad want \quad to\quad remain\quad bounded</math>
  
−
<math>\quad  Model 2 \quad and \quad  Model  3 \quad are \quad already \quad bounded \quad when \quad t>0</math>
+
<math>\quad  Model \quad 2 \quad and \quad  3 \quad are \quad already \quad bounded \quad when \quad t \geqslant 0</math>
  
−
<math>\quad \therefore\omega_1^T X_[0]=0</math>
+
<math>\quad \therefore\omega_1^T X[0]=0</math>
  
 
<math>\begin{bmatrix}
 
<math>\begin{bmatrix}
 
-2 & -\frac{1}{2} &-\frac{3}{2}\\
 
-2 & -\frac{1}{2} &-\frac{3}{2}\\
−
\end{bmatrix} \quad X_[0]=0</math>
+
\end{bmatrix} X[0]=0</math>
  
 
<math>\quad X_1=-\frac{1}{4} X_2-\frac{3}{4}X_3</math>
 
<math>\quad X_1=-\frac{1}{4} X_2-\frac{3}{4}X_3</math>
Line 142: Line 142:
 
1 \\ \end{bmatrix}\end{Bmatrix}</math>
 
1 \\ \end{bmatrix}\end{Bmatrix}</math>
  
−
<math>(\quad f-\quad j)\quad Can't \quad resolve.</math>
+
<math>(f \sim j)\quad Can't \quad resolve.</math>
  
  
 +
P2.<math>\Phi（t）=e^{\zeta_0^t\begin{bmatrix}
 +
-t  & 1\\
 +
0  & -1\\
 +
\end{bmatrix}dt}=e^{\begin{bmatrix}
 +
-\frac{1}{2}t^{2}  & 0\\
 +
0  & -t\\
 +
\end{bmatrix}}e^{\begin{bmatrix}
 +
0  & t \\
 +
0  & 0\\
 +
\end{bmatrix}}=\begin{bmatrix}
 +
e^{-\frac{1}{2}t^{2}}  & 0 \\
 +
0  & e^{-t}\\
 +
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
1 & t \\
 +
0  & 1\\
 +
\end{bmatrix}</math>
  
 +
<math>\Phi（t）=\begin{bmatrix}
 +
e^{-\frac{1}{2}t^{2}}  & te^{-\frac{1}{2}t^{2}} \\
 +
0  & e^{-t}\\
 +
\end{bmatrix}</math>
  
 +
P3.<math>\quad Let \quad X[3]= \begin{bmatrix}
 +
1  & 1\\
 +
\end{bmatrix}^{t} ,\quad X[0]=\begin{bmatrix}
 +
0  & 0\\
 +
\end{bmatrix}^{t}</math>
  
 +
<math>\quad C_3 =\begin{bmatrix}
 +
B  &  AB  & A^2B\\
 +
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
 +
1  &  1  &  0\\
 +
0  &  1  &  1\\
 +
\end{bmatrix}^{t}</math>
  
−
 
+
<math>\quad U =\begin{bmatrix}
−
 
+
u(2)\\
−
 
+
u(1)\\
−
 
+
u(0)\\
−
 
+
\end{bmatrix} =\quad C_3^{t} ( C_3C_3^{t})^{-1} X[3]=\begin{bmatrix}
−
 
+
  \frac{2}{3}     &  -\frac{1}{3}\\
−
 
+
    \frac{1}{3}     & \frac{1}{3}\\
−
 
+
  - \frac{1}{3}     & \frac{2}{3}\\
−
 
+
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
−
 
+
1\\
−
 
+
1\\
−
 
+
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
−
 
+
\frac{1}{3}\\
−
 
+
  \frac{2}{3}\\
−
 
+
\frac{1}{3}\\
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
<math>\mathbf{d)} \quad X_1=r,X_2=-s,X_3=s  \quad
+
−
 
+
−
X=r\begin{bmatrix}
+
−
1 \\
+
−
0 \\
+
−
0
+
−
\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix}
+
−
0 \\
+
−
-1 \\
+
−
1
+
−
\end{bmatrix}\\</math>
+
−
<math>Subspace\quad is \begin{Bmatrix}
+
−
\begin{bmatrix}
+
−
1 \\
+
−
0 \\
+
−
0
+
−
\end{bmatrix} ,& \begin{bmatrix}
+
−
0 \\
+
−
-1  \\
+
−
1
+
−
\end{bmatrix}  
+
−
\end{Bmatrix}.\\</math>
+
−
<math>\mathbf{e)} \quad \lambda I-A=\begin{bmatrix}
+
−
\lambda-1 & -1 & -1 \\
+
−
0 & \lambda & -1 \\
+
−
0 & 0 & \lambda+1
+
−
\end{bmatrix}\quad \lambda_1=1,\lambda_2=0,\lambda_3=-1\\</math>
+
−
<math>\qquad for \;\lambda_1=1 \qquad\begin{bmatrix}
+
−
\lambda I-A & B \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+
−
0 & -1 & -1 & 1 \\
+
−
0 & 1 & -1 & 1 \\
+
−
0 & 0 & 2 & 0
+
−
\end{bmatrix}\\</math>
+
−
<math>\qquad for \;\lambda_2=0 \qquad\begin{bmatrix}
+
−
\lambda I-A & B \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+
−
-1 & -1 & -1 & 1 \\
+
−
0 & 0 & -1 & 1 \\
+
−
0 & 0 & 1 & 0
+
−
\end{bmatrix}\\</math>
+
−
<math>\qquad for \;\lambda_3=-1 \qquad\begin{bmatrix}
+
−
\lambda I-A & B \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+
−
-2 & -1 & -1 & 1 \\
+
−
0 & -1 & -1 & 1 \\
+
−
0 & 0 & 0 & 0
+
−
\end{bmatrix}
+
−
\qquad rank<3 \qquad must\;contain\;\lambda=-1
+
−
  \qquad  \therefore\; No.</math>
+
−
 
+
−
<math>\mathbf{f)} \quad \begin{bmatrix}
+
−
\lambda I-A \\
+
−
C \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+
−
\lambda-1 & -1 & -1 \\
+
−
0 & \lambda & -1 \\
+
−
0 & 0 & \lambda+1 \\
+
−
0 & 1 & 1
+
 
\end{bmatrix}</math>
 
\end{bmatrix}</math>
  
−
<math>for\; \lambda_1=1 \quad \begin{bmatrix}
+
<math>\quad \therefore \quad U[0]=\frac{1}{3}, \quad U[1]=\frac{2}{3}, \quad U[2]=\frac{1}{3}</math>
−
\lambda I-A \\
+
−
C \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+
−
0 & -1 & -1 \\
+
−
0 & 1 & -1 \\
+
−
0 & 0 & 2 \\
+
−
0 & 1 & 1
+
−
\end{bmatrix} \quad rank<3 \quad must\;have\;\lambda_1=1</math>
+
  
−
<math>for\; \lambda_2=0 \quad \begin{bmatrix}
+
<math>\quad Energy \quad is \quad U^{2}[0] +U^{2}[1] +U^{2} [2]= \frac{6}{9}= \frac{2}{3}</math>
−
\lambda I-A \\
+
−
C \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+
−
-1 & -1 & -1 \\
+
−
0 & 0 & -1 \\
+
−
0 & 0 & 1 \\
+
−
0 & 1 & 1
+
−
\end{bmatrix}\\</math>
+
  
−
<math>for \lambda-3=-1\quad \begin{bmatrix}
+
P4.  <math>\quad ( X_1^{2}-1)( X_2-2)=0</math>
−
\lambda I-A \\
+
−
C \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+
−
-2 & -1 & -1 \\
+
−
0 & -1 & -1 \\
+
−
0 & 0 & 0 \\
+
−
0 & 1 & 1
+
−
\end{bmatrix} \quad rank<3 \quad must\;have\;\lambda_3=-1</math>
+
  
−
<math>\because \;eigenvalues \left\{1,-1,2 \right\}\quad \therefore\;Yes.</math>
+
      <math>\quad -X_2( X_1^{2}+1)=0</math>
  
−
<math>A-LC=<math>\begin{bmatrix}
+
      <math>\quad soll:\quad X_1=\pm1    ,  \quad X_2=0</math>
−
1 & 1-L_1 & 1-L_1 \\
+
−
0 & -L_2 & 1-L_2 \\
+
−
0 & -L_3 & -1-L_3
+
−
\end{bmatrix}\quad LC=\begin{bmatrix}
+
−
0 & L_1 & L_1 \\
+
−
0 & L_2 & L_2 \\
+
−
0 & L_3 & L_3
+
−
\end{bmatrix}</math>
+
  
−
<math>\lambda I-\left(A-LC \right)=\begin{bmatrix}
+
<math>\quad X_{e1}=\begin{bmatrix}
−
\lambda-1 & L_1-1 & L_1-1 \\
+
1\\
−
0 & \lambda+L_2 & L_2-1 \\
+
0\\
−
0 & L_3 & \lambda+1+L_3
+
\end{bmatrix},\quad X_{e2}=\begin{bmatrix}
 +
-1\\
 +
0\\
 
\end{bmatrix}</math>
 
\end{bmatrix}</math>
  
−
For conditions <math>\quad\lambda_1=1,\quad\lambda_2=-1,\quad\lambda_3=-2</math>
+
<math> D f(X)=\begin{bmatrix}
−
 
+
2 X_1 X_2-4 X_1  &  X_1^{2}-1\\
−
<math>\begin{cases}
+
-2 X_1X_2    &  -X_1^{2}-1\\
−
3L_2 + 6L_3 = 9 \\
+
−
L_2 + 2L_3 = 3 \\
+
−
L_2=1 \\
+
−
L_3=1
+
−
\end{cases} \quad L=\begin{bmatrix}
+
−
2  \\
+
−
1 \\
+
−
1
+
 
\end{bmatrix}</math>
 
\end{bmatrix}</math>
  
−
<math>\mathbf{g)} \quad \because\;\lambda_1=1,\quad Not\;stable.</math>
+
<math> D f( X_{e1})=\begin{bmatrix}
−
 
+
-4  &   0 \\
−
<math>\mathbf{h)} \quad AU_1=\lambda_1 U_1 \quad AU_2=\lambda_2 U_2 \quad AU_3= \lambda_3 U_3\\</math>
+
0   &   -2\\
−
 
+
\end{bmatrix}     \quad all \quad\lambda_i\quad negative  \quad asy \quad stable</math>
−
<math>\begin{alignat}{2}
+
−
y & = C X_(t) =C[U_1 e^t (\omega_1^T X_{(0)})+U_2 e^0 (\omega_2^T X_{(0)})+U_3 e^{-t} (\omega_3^T X_{(0)})]\\
+
−
& = -\omega_2^T \omega_{(0)}\\
+
−
\end{alignat}</math>
+
−
 
+
−
<math>\therefore\;bounded</math>
+
−
 
+
−
<math>:)\;\because \; \frac{1}{s}\; has\; pole=0 \quad\therefore\;Not \; BIBO \;Stable.</math>
+
−
 
+
−
P2.
+
−
 
+
−
<math>\mathbf{(a)} \quad A=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
+
−
1 & -1 \\
+
−
-1 & -1
+
−
\end{bmatrix},\quad \lambda=0  </math>
+
  
−
<math>\begin{alignat}{1}
+
<math> D f( X_{e2})=\begin{bmatrix}
−
(0)^k & =\beta_0 ,\; k \to \infty \quad \beta_0=0\;\\
+
4  &   0  \\
−
\end{alignat}</math>
+
0 &  -2\\
 +
\end{bmatrix} \quad has \quad a\quad positive \quad \lambda,\quad unstable</math>

Latest revision as of 07:16, 17 May 2017

AC-2 P1.

$ \mathbf{a)} \quad e^{At}=\begin{bmatrix} -1 & -1 & 1\\ -1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & -2\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{t} & 0 & 0\\ 0 & e^{-t} & 0\\ 0 & 0 & e^{0}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2}\\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ -1 & 0 & -1\\ \end{bmatrix} $

=$ \begin{bmatrix} -e^{t} & -e^{-t} & 1\\ -e^{t} & e^{-t} & 2\\ e^{t} & e^{-t} & -2\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2}\\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ -1 & 0 & -1\\ \end{bmatrix} $

=$ \begin{bmatrix} 2e^{t}-1 & \frac{1}{2}e^{t} -\frac{1}{2}e^{-t} & \frac{3}{2}e^{t}-\frac{1}{2}e^{-t}-1\\ 2e^{t}-2 & \frac{1}{2}e^{t}+\frac{1}{2}e^{-t} & \frac{1}{2}e^{t}+\frac{1}{2}e^{-t}-2\\ -2e^{t}+2 & -\frac{1}{2}e^{t}+\frac{1}{2}e^{-t} & -\frac{3}{2}e^{t}+\frac{1}{2}e^{-t}+2\\ \end{bmatrix} $


$ \mathbf{b)}\quad\lambda_1=1,\quad\lambda_2=-1,\quad\lambda_3=0 $, $ \because\quad\lambda_1>0 \quad\therefore\quad unstable. $


$ \mathbf{c)}\quad If \quad we \quad want \quad t \to \infty, X(t) \to0 $

$ \quad Model \quad 1 \quad and \quad Model \quad3 \quad need \quad to \quad be \quad zero. $ 

 $ \omega_1^T X[0]=0 $

 $ \omega_3^T X[0]=0 $

$ \begin{bmatrix} -2 & -\frac{1}{2} &-\frac{3}{2}\\ -1 & 0 & -1 \\\end{bmatrix} X[0]=0 $

$ \quad\therefore\quad X_1=-X_3 , X_2=X_3 $

$ \quad \therefore \quad X[0]=X_3\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} $

$ \quad The \quad set\quad is\begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \end{Bmatrix} $

$ \quad If \quad we \quad want \quad to\quad remain\quad bounded $

$ \quad Model \quad 2 \quad and \quad 3 \quad are \quad already \quad bounded \quad when \quad t \geqslant 0 $

$ \quad \therefore\omega_1^T X[0]=0 $

$ \begin{bmatrix} -2 & -\frac{1}{2} &-\frac{3}{2}\\ \end{bmatrix} X[0]=0 $

$ \quad X_1=-\frac{1}{4} X_2-\frac{3}{4}X_3 $

$ \quad X=\begin{bmatrix} -\frac{1}{4} X_2-\frac{3}{4}X_3\\ X_2\\ X_3\\ \end{bmatrix}=X_2\begin{bmatrix} -\frac{1}{4}\\ 1\\ 0\\ \end{bmatrix} +X_3\begin{bmatrix} -\frac{3}{4}\\ 0\\ 1\\ \end{bmatrix} $

$ \quad \therefore \quad The \quad set\quad is\begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} -\frac{1}{4} \\ 1 \\ 0\\ \end{bmatrix}，\begin{bmatrix} -\frac{3}{4}\\ 0\\ 1\\ \end{bmatrix}\end{Bmatrix} $


$ \mathbf{d)} \quad C=\begin{bmatrix} B & AB & A^2B \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{bmatrix} $

$ \quad rank=1\ne \mbox 3,\quad not\quad controllable $

$ \quad The\quad reachable\quad subspace\quad is \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \end{Bmatrix} $

$ \mathbf{e)} \quad O=\begin{bmatrix} \quad C\\ \quad CA\\ \quad CA^2 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} $

$ \quad rank=1\ne \mbox 3,\quad not \quad observable $

$ \quad unobservable \quad subspace\quad is \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -1\\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\end{Bmatrix} $

$ (f \sim j)\quad Can't \quad resolve. $


P2.$ \Phi（t）=e^{\zeta_0^t\begin{bmatrix} -t & 1\\ 0 & -1\\ \end{bmatrix}dt}=e^{\begin{bmatrix} -\frac{1}{2}t^{2} & 0\\ 0 & -t\\ \end{bmatrix}}e^{\begin{bmatrix} 0 & t \\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}}=\begin{bmatrix} e^{-\frac{1}{2}t^{2}} & 0 \\ 0 & e^{-t}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & t \\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} $

$ \Phi（t）=\begin{bmatrix} e^{-\frac{1}{2}t^{2}} & te^{-\frac{1}{2}t^{2}} \\ 0 & e^{-t}\\ \end{bmatrix} $

P3.$ \quad Let \quad X[3]= \begin{bmatrix} 1 & 1\\ \end{bmatrix}^{t} ,\quad X[0]=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ \end{bmatrix}^{t} $

$ \quad C_3 =\begin{bmatrix} B & AB & A^2B\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix}^{t} $

$ \quad U =\begin{bmatrix} u(2)\\ u(1)\\ u(0)\\ \end{bmatrix} =\quad C_3^{t} ( C_3C_3^{t})^{-1} X[3]=\begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \end{bmatrix} $

$ \quad \therefore \quad U[0]=\frac{1}{3}, \quad U[1]=\frac{2}{3}, \quad U[2]=\frac{1}{3} $

$ \quad Energy \quad is \quad U^{2}[0] +U^{2}[1] +U^{2} [2]= \frac{6}{9}= \frac{2}{3} $

P4. $ \quad ( X_1^{2}-1)( X_2-2)=0 $ 

     $ \quad -X_2( X_1^{2}+1)=0 $

     $ \quad soll:\quad X_1=\pm1    ,  \quad X_2=0 $

$ \quad X_{e1}=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \end{bmatrix},\quad X_{e2}=\begin{bmatrix} -1\\ 0\\ \end{bmatrix} $

$ D f(X)=\begin{bmatrix} 2 X_1 X_2-4 X_1 & X_1^{2}-1\\ -2 X_1X_2 & -X_1^{2}-1\\ \end{bmatrix} $

$ D f( X_{e1})=\begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -2\\ \end{bmatrix} \quad all \quad\lambda_i\quad negative \quad asy \quad stable $

$ D f( X_{e2})=\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -2\\ \end{bmatrix} \quad has \quad a\quad positive \quad \lambda,\quad unstable $

Retrieved from "https://www.projectrhea.org/rhea/index.php?title=ECE-QE_AC2-2015&oldid=73179"
Shortcuts
Help Main Wiki Page Random Page Special Pages Log in
Search

Alumni Liaison

Abstract algebra continues the conceptual developments of linear algebra, on an even grander scale.

Dr. Paul Garrett