(Created page with "<math>\begin{pmatrix} x & y \\ z & v \end{pmatrix}</math>")
 
 
(3 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 1: Line 1:
−
<math>\begin{pmatrix}
+
p1  a)    <math>A=\begin{bmatrix}
−
x & y \\
+
-1      &  1      \\
−
z & v
+
0      &  -2
−
\end{pmatrix}</math>
+
\end{bmatrix}</math>
 +
 
 +
<math>X(t)=\begin{bmatrix}
 +
X_1(t)    \\
 +
X_2(t)   
 +
\end{bmatrix} </math>
 +
 
 +
<math>\begin{cases}
 +
\dot{x}_1(t)=-X_1(t)+X_2(t) \\
 +
\dot{x}_2(t)=-2X_2(t)
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
<math>\Phi(t)=\begin{bmatrix}
 +
\Phi_1(t)  & \Phi_2(t)      \\
 +
\end{bmatrix} </math>
 +
 
 +
For <math> \Phi_1(t) assume  X_{(0)} =\begin{bmatrix}
 +
1    \\
 +
0   
 +
\end{bmatrix} </math>
 +
 
 +
<math>
 +
\begin{cases}
 +
\dot{x}_1(t)=e^{\begin{matrix} \int_{t}^{0} -1\, \mathrm{d}t \end{matrix}} X_1(0)=e^{-t}\\
 +
\dot{x}_2(t)=e^{\begin{matrix} \int_{t}^{0} -2\, \mathrm{d}t \end{matrix}} X_2(0)=0
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
<math>\therefore\Phi_1(t)=\begin{bmatrix}
 +
e^{-t}  \\
 +
0   
 +
\end{bmatrix} </math>
 +
 
 +
<math>For \quad \Phi_2(t) assume  X_(0)=\begin{bmatrix}
 +
0  \\
 +
1   
 +
\end{bmatrix} </math>
 +
 
 +
<math>X_2(t)=e^{\begin{matrix} \int_{t}^{0} -2\, \mathrm{d}t \end{matrix}} X_2(0)=e^{-2t}</math>
 +
 
 +
<math>\Phi_(t)=e^{\begin{matrix} \int_{t}^{0} A\, \mathrm{d}t \end{matrix}}=e^{\begin{bmatrix}
 +
-t & t  \\
 +
0  & -2t
 +
\end{bmatrix}}=\begin{bmatrix}
 +
e^{-t} & 0  \\
 +
0  & e^{-2t}
 +
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
1 & t  \\
 +
0  & 1
 +
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 +
e^{-t} & te^{-t}  \\
 +
0  & e^{-2t}
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
 
 +
<math>\Phi_(t, \iota)=\Phi_(t)\Phi_(\iota)^-1=\begin{bmatrix}
 +
e^{-t} & te^{-t}  \\
 +
0  & e^{-2t}
 +
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
e^{-\iota} & \iota e^{-\iota}  \\
 +
0  & e^{-2\iota}
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
 
 +
b) <math>A=\begin{bmatrix}
 +
-\cos t    &  \cos t    \\
 +
0      &  -2\cos t
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
 
 +
<math>\Phi_(t)=e^{\begin{matrix} \int_{t}^{0} A\, \mathrm{d}t \end{matrix}} =\begin{bmatrix}             
 +
  e^{\sin t}    & 0    \\
 +
0      & e^{2\sin t}   
 +
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
  1    & - \sin t  \\
 +
  0      & 1 
 +
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 +
e^{\sin t}    &  - \sin t e^ {\sin t}  \\
 +
0      & e^{2\sin t}   
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
 
 +
<math>\Phi_(t, \iota)=\Phi_(t)\cdot \Phi_(\iota)^-1=\begin{bmatrix}
 +
e^{\sin t} &  -sin t e^{\sin t }    \\
 +
0      &  e^{2\sin t }
 +
\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}
 +
e^{\sin \iota}    &  -sin \iota e^{\sin \iota }    \\
 +
0      &  e^{2\sin \iota }
 +
\end{bmatrix}}^{-1}</math>
 +
 
 +
p2 a)  <math>\left| {\lambda\Iota-A} \right|=\begin{bmatrix}
 +
\lambda+2      &  -2    \\
 +
1    &  \lambda-1
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
 
 +
<math>\lambda_1 =0 \quad \lambda_2=-1</math>
 +
 
 +
Marginally stable ,not  asy , stable.
 +
 
 +
b)  <math>c=\begin{bmatrix}
 +
B      &  AB   
 +
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 +
1      &  0    \\
 +
1      &  0
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
 
 +
<math> rank=1 \neq 2</math>
 +
 
 +
not observable,  unobservable subspace <math> \left\{ {\begin{bmatrix}
 +
1    \\
 +
1 
 +
\end{bmatrix} } \right\}</math>
 +
c)  <math>0=\begin{bmatrix}
 +
C    \\
 +
CA   
 +
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
 +
1      &  -1      \\
 +
-1    &  1
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
 
 +
<math> rank=1 \neq 2</math>
 +
 
 +
not observable,  unobservable subspace<math> \left\{ {\begin{bmatrix}
 +
1    \\
 +
-1   
 +
\end{bmatrix} } \right\}</math>
 +
 
 +
d) <math> \begin{align}
 +
C(SI-A)^{-1}B & = \begin{bmatrix}
 +
1    \\
 +
-1   
 +
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
\frac{S-1}{2S}  &\frac{S+2}{2S}  \\
 +
\frac{S+1}{-2S}  & \frac{S-2}{2S} 
 +
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
1    \\
 +
-1   
 +
\end{bmatrix} \\
 +
& = \begin{bmatrix}
 +
1  & 1
 +
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
1    \\
 +
1   
 +
\end{bmatrix}=2 \\
 +
\end{align}</math>
 +
 
 +
e)  i) false
 +
    ii) false
 +
 
 +
f)  <math>A-BK=\begin{bmatrix}
 +
-2-k_1    & 2-k_2      \\
 +
-1-k_1    &  1-k_2
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
<math>\left| {\lambda-A+BK} \right|=\lambda^2+\left( {a+b+1} \right)\lambda+3a+3-ab=0</math>
 +
 
 +
<math>\lambda_1 =-3  \quad and \quad  \lambda_2=-1</math>
 +
<math>\begin{cases}
 +
-3a + 9 -ab=0 \\
 +
2a - b+3-ab=0
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
<math>a=0 ,b=3  k=\begin{bmatrix}
 +
0 & 3      \\
 +
\end{bmatrix} </math>
 +
 
 +
g) <math>\begin{bmatrix}
 +
\lambda\Iota-A  \\
 +
C 
 +
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 +
\lambda+2    & -2      \\
 +
1 & \lambda-1 \\
 +
1    & -1
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
must contain  <math>\lambda=0 ,no</math>

Latest revision as of 01:01, 21 May 2017

p1 a) $ A=\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} $

$ X(t)=\begin{bmatrix} X_1(t) \\ X_2(t) \end{bmatrix} $

$ \begin{cases} \dot{x}_1(t)=-X_1(t)+X_2(t) \\ \dot{x}_2(t)=-2X_2(t) \end{cases} $ 

$ \Phi(t)=\begin{bmatrix} \Phi_1(t)  &  \Phi_2(t)      \\ \end{bmatrix}  $

For $ \Phi_1(t) assume X_{(0)} =\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $

$ \begin{cases} \dot{x}_1(t)=e^{\begin{matrix} \int_{t}^{0} -1\, \mathrm{d}t \end{matrix}} X_1(0)=e^{-t}\\ \dot{x}_2(t)=e^{\begin{matrix} \int_{t}^{0} -2\, \mathrm{d}t \end{matrix}} X_2(0)=0 \end{cases} $

$ \therefore\Phi_1(t)=\begin{bmatrix} e^{-t} \\ 0 \end{bmatrix} $

$ For \quad \Phi_2(t) assume X_(0)=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $

$ X_2(t)=e^{\begin{matrix} \int_{t}^{0} -2\, \mathrm{d}t \end{matrix}} X_2(0)=e^{-2t} $

$ \Phi_(t)=e^{\begin{matrix} \int_{t}^{0} A\, \mathrm{d}t \end{matrix}}=e^{\begin{bmatrix} -t & t \\ 0 & -2t \end{bmatrix}}=\begin{bmatrix} e^{-t} & 0 \\ 0 & e^{-2t} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e^{-t} & te^{-t} \\ 0 & e^{-2t} \end{bmatrix} $

$ \Phi_(t, \iota)=\Phi_(t)\Phi_(\iota)^-1=\begin{bmatrix} e^{-t} & te^{-t} \\ 0 & e^{-2t} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{-\iota} & \iota e^{-\iota} \\ 0 & e^{-2\iota} \end{bmatrix} $

b) $ A=\begin{bmatrix} -\cos t & \cos t \\ 0 & -2\cos t \end{bmatrix} $

$ \Phi_(t)=e^{\begin{matrix} \int_{t}^{0} A\, \mathrm{d}t \end{matrix}} =\begin{bmatrix} e^{\sin t} & 0 \\ 0 & e^{2\sin t} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & - \sin t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e^{\sin t} & - \sin t e^ {\sin t} \\ 0 & e^{2\sin t} \end{bmatrix} $

$ \Phi_(t, \iota)=\Phi_(t)\cdot \Phi_(\iota)^-1=\begin{bmatrix} e^{\sin t} & -sin t e^{\sin t } \\ 0 & e^{2\sin t } \end{bmatrix}{\begin{bmatrix} e^{\sin \iota} & -sin \iota e^{\sin \iota } \\ 0 & e^{2\sin \iota } \end{bmatrix}}^{-1} $

p2 a) $ \left| {\lambda\Iota-A} \right|=\begin{bmatrix} \lambda+2 & -2 \\ 1 & \lambda-1 \end{bmatrix} $

$ \lambda_1 =0 \quad \lambda_2=-1 $

Marginally stable ,not asy , stable.

b) $ c=\begin{bmatrix} B & AB \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $

$ rank=1 \neq 2 $

not observable, unobservable subspace $ \left\{ {\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} } \right\} $ c) $ 0=\begin{bmatrix} C \\ CA \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} $

$ rank=1 \neq 2 $

not observable, unobservable subspace$ \left\{ {\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} } \right\} $

d) $ \begin{align} C(SI-A)^{-1}B & = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{S-1}{2S} &\frac{S+2}{2S} \\ \frac{S+1}{-2S} & \frac{S-2}{2S} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=2 \\ \end{align} $

e) i) false 

   ii) false

f) $ A-BK=\begin{bmatrix} -2-k_1 & 2-k_2 \\ -1-k_1 & 1-k_2 \end{bmatrix} $ $ \left| {\lambda-A+BK} \right|=\lambda^2+\left( {a+b+1} \right)\lambda+3a+3-ab=0 $

$ \lambda_1 =-3 \quad and \quad \lambda_2=-1 $ $ \begin{cases} -3a + 9 -ab=0 \\ 2a - b+3-ab=0 \end{cases} $

$ a=0 ,b=3 k=\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ \end{bmatrix} $

g) $ \begin{bmatrix} \lambda\Iota-A \\ C \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda+2 & -2 \\ 1 & \lambda-1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} $ must contain $ \lambda=0 ,no $

Retrieved from "https://www.projectrhea.org/rhea/index.php?title=ECE-QE_AC2-2013&oldid=73260"
Shortcuts
Help Main Wiki Page Random Page Special Pages Log in
Search

Alumni Liaison

Sees the importance of signal filtering in medical imaging

Dhruv Lamba, BSEE2010