(29 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 3: Line 3:
 
P1.  
 
P1.  
 
（a）i）
 
（a）i）
−
<math>\begin{bmatrix}
+
<math>
−
x_1(t)\\
+
\begin{bmatrix}
−
x_2(t)
+
\dot{x}_1(t) \\
 +
\dot{x}_2(t)
 
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
−
-1 &-\frac{1}{2}\\
+
-1 & -\frac{1}{2} \\
 
\frac{1}{2} & -1
 
\frac{1}{2} & -1
 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
Line 13: Line 14:
 
x_2(t)
 
x_2(t)
 
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
 
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
−
\frac{x_0(t)}{2}\\
+
\frac{x_0(t)}{2} \\
 
\frac{x_3(t)}{2}
 
\frac{x_3(t)}{2}
 
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
−
-1 &-\frac{1}{2}\\
+
-1 & -\frac{1}{2} \\
 
\frac{1}{2} & -1
 
\frac{1}{2} & -1
 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
−
x_1(t) \\
+
x_1(t)   \\
−
x_2(t)
+
x_2(t)
−
\end{bmatrix}+begin{bmatrix}
+
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
−
\frac{1}{2}&0 \\  
+
\frac{1}{2} & 0   \\  
−
0& \frac{1}{2}
+
0 & \frac{1}{2}
 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
−
x_0(t) \\
+
x_0(t) \\
−
x_3(t)
+
x_3(t)
−
\end{bmatrix}</math>
+
\end{bmatrix}
 +
</math>
  
 
ii)
 
ii)
Line 73: Line 75:
 
iii)
 
iii)
 
<math>\lambda _1=-\frac{1}{2}
 
<math>\lambda _1=-\frac{1}{2}
−
\lambda _2=-\frac{3}{2}</math>
+
\lambda _2=-\frac{3}{2}\\
−
stable
+
stable \\
−
<math>X(t)\rightarrow X(\infty) \\
+
X(t)\rightarrow X(\infty) \\
−
as\\  
+
as \\
 
t\rightarrow \infty</math>
 
t\rightarrow \infty</math>
 +
<math>e^{At}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
 +
e^{-\frac{3}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t}    & e^{-\frac{3}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t}      \\
 +
e^{-\frac{3}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t}        &  e^{-\frac{3}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t} 
 +
\end{bmatrix}
 +
t\rightarrow \infty
 +
e^{At}\rightarrow\begin{bmatrix}
 +
1    & 0      \\
 +
0    &  1 
 +
\end{bmatrix}
 +
</math>
 +
<math>X(t)=e^{At}X(0)+\begin{matrix} \int_{0}^{t}e^{A(t-I)}BU dI
 +
\end{matrix}
 +
=e^{At}X(0)+\begin{matrix} \int_{0}^{t}e^{A(t-I)}dI BU
 +
\end{matrix}</math>
 +
<math>X(\infty)=e^(Atrightarrow\infty)X(0)+0Bu=X(0)=\begin{bmatrix}
 +
4  \\
 +
1
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
 +
(b)<math>X(t)=\begin{bmatrix}
 +
0  & 0 &0  \\
 +
\frac{1}{2}  &  -1  & \frac{1}{2}\\
 +
0  &  \frac{1}{2}  &  -1
 +
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
x_0  \\
 +
x_1  \\
 +
x_2 
 +
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
 +
1  \\
 +
0  \\
 +
0
 +
\end{bmatrix}U(t)</math>
 +
 +
 +
ii）
 +
Can’t resolve the rest of questions
 +
 +
 +
P2
 +
<math>\lambda _1=1  \\
 +
\lambda _2=-1  \\
 +
\lambda _3=2  \\
 +
not stable  </math>
 +
 +
<math>C=\begin{bmatrix}
 +
B  & AB & A^2B
 +
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 +
1 & 1 & 1  \\
 +
1 & 1 & 1  \\
 +
2 & 5 & 11 
 +
\end{bmatrix} \\
 +
rank=2 \\
 +
not controllable
 +
0=\begin{bmatrix}
 +
C \\
 +
CA  \\
 +
CA^2
 +
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 +
1 & 0 & 0  \\
 +
1 & 0 & 0  \\
 +
1 & 0 & 0 
 +
\end{bmatrix}\\
 +
rank=1 \\
 +
not observable
 +
</math>
 +
 +
For<math>\lambda _1=1  \\
 +
rank\begin{bmatrix}
 +
\lambda I-A  & B
 +
\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix}
 +
0 & 0 & 0 & 1 \\
 +
-2 & 2 & 0 & 1 \\
 +
-5 & 4 & -1 & 2
 +
\end{bmatrix}=3  \\
 +
rank\begin{bmatrix}
 +
\lambda I-A  \\
 +
C
 +
\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix}
 +
0 & 0 & 0  \\
 +
-2 & 2 & 0  \\
 +
-5 & 4 & -1  \\
 +
1  & 0 & 0
 +
\end{bmatrix}=3  \\
 +
</math>
 +
 +
For<math>\lambda _2=-1  \\
 +
rank\begin{bmatrix}
 +
\lambda I-A  & B
 +
\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix}
 +
-2 & 0 & 0 & 1 \\
 +
-2 & 0 & 0 & 1  \\
 +
-5 & 4 & -3 & 2 
 +
\end{bmatrix}=2  \\
 +
uncontrollable  \\
 +
rank\begin{bmatrix}
 +
\lambda I-A  \\
 +
C
 +
\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix}
 +
-2 & 0 & 0  \\
 +
-2 & 0 & 0  \\
 +
-5 & 4 & -3  \\
 +
1  & 0 & 0
 +
\end{bmatrix}=2  \\
 +
unobservable
 +
</math>
 +
 +
For<math>\lambda _3=2  \\
 +
rank\begin{bmatrix}
 +
\lambda I-A  & B
 +
\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix}
 +
1 & 0 & 0 & 1 \\
 +
-2 & 3 & 0 & 1  \\
 +
-5 & 4 & 0 & 2 
 +
\end{bmatrix}=3  \\
 +
rank\begin{bmatrix}
 +
\lambda I-A  \\
 +
C
 +
\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix}
 +
1 & 0 & 0  \\
 +
-2 & 3 & 0  \\
 +
-5 & 4 & 0  \\
 +
1  & 0 & 0
 +
\end{bmatrix}=3  \\
 +
The only uncontrollable and unobservable \lambda has negative real part  \\
 +
Stablizable  and  detectable
 +
</math>
 +
 +
<math>H(S)=C(SI-A)^{-1}B+D=(\frac{1}{S-1}-\frac{2}{(S+1)(S-1)}-\frac{8}{(S-1)(S+1)(S-2)})=\frac{S^2-3S-6}{(S-1)(S+1)(S-2)}  \\
 +
</math>
 +
<math>
 +
P_1=1  \\
 +
P_2=-1  \\
 +
P_3=2  \\ 
 +
not all poles have neqative real parts  \\
 +
not BIBO stable
 +
</math>
 +
 +
P3
 +
<math>X(t)=\begin{bmatrix}
 +
X_1(t)  \\
 +
X_2(t)
 +
\end{bmatrix}
 +
\dot{x}_1(t)=-tx_1(t)
 +
\dot{x}_2(t)=-costx_1(t)-tx_2(t)
 +
</math>
 +
<math>\Phi(t)=\begin{bmatrix}
 +
\Phi_1(t)  &  \Phi_2(t)
 +
\end{bmatrix}
 +
for  \Phi_1(t) \\
 +
assume  \\
 +
X(0)=\begin{bmatrix}
 +
1  \\
 +
0
 +
\end{bmatrix}  \\
 +
X_1(0)=1  X_2(0)=0
 +
</math>
 +
<math>X_1(t)=e^{-\int_{0}^{t}IdI}\\
 +
X_1(0)=e^{-\frac{1}{2}t^2}
 +
\dot{x}_2(t)=-coste^{-\frac{1}{2}t^2}-tx_2(t)
 +
for  \Phi_2(t) \\
 +
assume  \\
 +
X(0)=\begin{bmatrix}
 +
0  \\
 +
1
 +
\end{bmatrix}  \\
 +
X_1(t)=0
 +
\dot{x}_2(t)=-tx_2(t)
 +
x_2(t)=e^{-\frac{1}{2}t^2}x_2(0)=e^{-\frac{1}{2}t^2}
 +
\Phi_2(t)=\begin{bmatrix}
 +
0 \\
 +
e^{-\frac{1}{2}t^2}
 +
\end{bmatrix}  \\
 +
</math>
 +
 +
 +
<math>\Phi(t)=e^{-\int_{0}^{t}AdI}=e^{{-\int_{0}^{t}}\begin{bmatrix}
 +
-t  & 0  \\
 +
-cost & -t
 +
\end{bmatrix}}dI=e^{\begin{bmatrix}
 +
-\frac{1}{2}t^2  & 0  \\
 +
sint & -\frac{1}{2}t^2
 +
\end{bmatrix}}=e^{\begin{bmatrix}
 +
-\frac{1}{2}t^2  & 0  \\
 +
0 &-\frac{1}{2}t^2
 +
\end{bmatrix}}e^{\begin{bmatrix}
 +
0  & 0  \\
 +
sint  & 0
 +
\end{bmatrix}}=\begin{bmatrix}
 +
e^{-\frac{1}{2}t^2}  & 0  \\
 +
0  & e^{-\frac{1}{2}t^2}
 +
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
1  & 0  \\
 +
sint  & 1
 +
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 +
e^{-\frac{1}{2}t^2}  & 0  \\
 +
sinte^{-\frac{1}{2}t^2}  & e^{-\frac{1}{2}t^2}
 +
\end{bmatrix}
 +
</math>
 +
<math>\Phi(tI)=\Phi(t)\Phi^{-1}(I)=\begin{bmatrix}
 +
e^{-\frac{1}{2}t^2}  & 0  \\
 +
sinte^{-\frac{1}{2}t^2}  & e^{-\frac{1}{2}t^2}
 +
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
e^{-\frac{1}{2}I^2}  & 0  \\
 +
sinIe^{-\frac{1}{2}I^2}  & e^{-\frac{1}{2}I^2}
 +
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 +
e^{-\frac{1}{2}(t^2-I^2)}  & 0  \\
 +
(sint-sinI)e^{-\frac{1}{2}(t^2-I^2)}  & e^{-\frac{1}{2}(t^2-I^2)}
 +
\end{bmatrix}
 +
</math>

Latest revision as of 05:15, 21 May 2017

AC-2 2014

P1. （a）i） $ \begin{bmatrix} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \frac{x_0(t)}{2} \\ \frac{x_3(t)}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_0(t) \\ x_3(t) \end{bmatrix} $

ii) $ A=\begin{bmatrix} -1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $


$ e^A=\begin{bmatrix} e^{-1} & 0 \\ 0 & e^{-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{-\frac{1}{2}} & 0 \\ 0 & e^\frac{1}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} e^{-\frac{3}{2}}+e^{-\frac{1}{2}} & -e^{-\frac{3}{2}}+e^{-\frac{1}{2}} \\ -e^{-\frac{3}{2}}+e^{-\frac{1}{2}} & e^{-\frac{3}{2}}+e^{-\frac{1}{2}} \end{bmatrix} $

iii) $ \lambda _1=-\frac{1}{2} \lambda _2=-\frac{3}{2}\\ stable \\ X(t)\rightarrow X(\infty) \\ as \\ t\rightarrow \infty $ $ e^{At}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} e^{-\frac{3}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t} & e^{-\frac{3}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t} \\ e^{-\frac{3}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t} & e^{-\frac{3}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t} \end{bmatrix} t\rightarrow \infty e^{At}\rightarrow\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ $ X(t)=e^{At}X(0)+\begin{matrix} \int_{0}^{t}e^{A(t-I)}BU dI \end{matrix} =e^{At}X(0)+\begin{matrix} \int_{0}^{t}e^{A(t-I)}dI BU \end{matrix} $ $ X(\infty)=e^(Atrightarrow\infty)X(0)+0Bu=X(0)=\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} $

(b)$ X(t)=\begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2}\\ 0 & \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}U(t) $


ii） Can’t resolve the rest of questions


P2 $ \lambda _1=1 \\ \lambda _2=-1 \\ \lambda _3=2 \\ not stable $

$ C=\begin{bmatrix} B & AB & A^2B \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 11 \end{bmatrix} \\ rank=2 \\ not controllable 0=\begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\\ rank=1 \\ not observable $

For$ \lambda _1=1 \\ rank\begin{bmatrix} \lambda I-A & B \end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 2 & 0 & 1 \\ -5 & 4 & -1 & 2 \end{bmatrix}=3 \\ rank\begin{bmatrix} \lambda I-A \\ C \end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ -5 & 4 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}=3 \\ $

For$ \lambda _2=-1 \\ rank\begin{bmatrix} \lambda I-A & B \end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} -2 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 0 & 1 \\ -5 & 4 & -3 & 2 \end{bmatrix}=2 \\ uncontrollable \\ rank\begin{bmatrix} \lambda I-A \\ C \end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} -2 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ -5 & 4 & -3 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}=2 \\ unobservable $

For$ \lambda _3=2 \\ rank\begin{bmatrix} \lambda I-A & B \end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 0 & 1 \\ -5 & 4 & 0 & 2 \end{bmatrix}=3 \\ rank\begin{bmatrix} \lambda I-A \\ C \end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ -5 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}=3 \\ The only uncontrollable and unobservable \lambda has negative real part \\ Stablizable and detectable $

$ H(S)=C(SI-A)^{-1}B+D=(\frac{1}{S-1}-\frac{2}{(S+1)(S-1)}-\frac{8}{(S-1)(S+1)(S-2)})=\frac{S^2-3S-6}{(S-1)(S+1)(S-2)} \\ $ $ P_1=1 \\ P_2=-1 \\ P_3=2 \\ not all poles have neqative real parts \\ not BIBO stable $

P3 $ X(t)=\begin{bmatrix} X_1(t) \\ X_2(t) \end{bmatrix} \dot{x}_1(t)=-tx_1(t) \dot{x}_2(t)=-costx_1(t)-tx_2(t) $ $ \Phi(t)=\begin{bmatrix} \Phi_1(t) & \Phi_2(t) \end{bmatrix} for \Phi_1(t) \\ assume \\ X(0)=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\ X_1(0)=1 X_2(0)=0 $ $ X_1(t)=e^{-\int_{0}^{t}IdI}\\ X_1(0)=e^{-\frac{1}{2}t^2} \dot{x}_2(t)=-coste^{-\frac{1}{2}t^2}-tx_2(t) for \Phi_2(t) \\ assume \\ X(0)=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\ X_1(t)=0 \dot{x}_2(t)=-tx_2(t) x_2(t)=e^{-\frac{1}{2}t^2}x_2(0)=e^{-\frac{1}{2}t^2} \Phi_2(t)=\begin{bmatrix} 0 \\ e^{-\frac{1}{2}t^2} \end{bmatrix} \\ $


$ \Phi(t)=e^{-\int_{0}^{t}AdI}=e^{{-\int_{0}^{t}}\begin{bmatrix} -t & 0 \\ -cost & -t \end{bmatrix}}dI=e^{\begin{bmatrix} -\frac{1}{2}t^2 & 0 \\ sint & -\frac{1}{2}t^2 \end{bmatrix}}=e^{\begin{bmatrix} -\frac{1}{2}t^2 & 0 \\ 0 &-\frac{1}{2}t^2 \end{bmatrix}}e^{\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ sint & 0 \end{bmatrix}}=\begin{bmatrix} e^{-\frac{1}{2}t^2} & 0 \\ 0 & e^{-\frac{1}{2}t^2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ sint & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e^{-\frac{1}{2}t^2} & 0 \\ sinte^{-\frac{1}{2}t^2} & e^{-\frac{1}{2}t^2} \end{bmatrix} $ $ \Phi(tI)=\Phi(t)\Phi^{-1}(I)=\begin{bmatrix} e^{-\frac{1}{2}t^2} & 0 \\ sinte^{-\frac{1}{2}t^2} & e^{-\frac{1}{2}t^2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{-\frac{1}{2}I^2} & 0 \\ sinIe^{-\frac{1}{2}I^2} & e^{-\frac{1}{2}I^2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e^{-\frac{1}{2}(t^2-I^2)} & 0 \\ (sint-sinI)e^{-\frac{1}{2}(t^2-I^2)} & e^{-\frac{1}{2}(t^2-I^2)} \end{bmatrix} $

Retrieved from "https://www.projectrhea.org/rhea/index.php?title=Creating_ECE-QE_AC2-2014&oldid=73306"
Shortcuts
Help Main Wiki Page Random Page Special Pages Log in
Search

Alumni Liaison

has a message for current ECE438 students.

Sean Hu, ECE PhD 2009