Line 96: Line 96:
 
1
 
1
 
\end{bmatrix}</math>
 
\end{bmatrix}</math>
 +
 +
(b)<math>X(t)=\begin{bmatrix}
 +
0  & 0 &0  \\
 +
\frac{1}{2}  &  -1  & \frac{1}{2}\\
 +
0  &  \frac{1}{2}  &  -1
 +
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
x_0  \\
 +
x_1  \\
 +
x_2 
 +
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
 +
1  //
 +
0  //
 +
0//
 +
\end{bmatrix}U(t)</math>
 +
 +
 +
ii)
 +
Can’t resolve the rest of questions

Revision as of 03:57, 21 May 2017

AC-2 2014

P1. (a)i) $ \begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 &-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \frac{x_0(t)}{2}\\ \frac{x_3(t)}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 &-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix}+begin{bmatrix} \frac{1}{2}&0 \\ 0& \frac{1}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_0(t) \\ x_3(t) \end{bmatrix} $

ii) $ A=\begin{bmatrix} -1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $


$ e^A=\begin{bmatrix} e^{-1} & 0 \\ 0 & e^{-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{-\frac{1}{2}} & 0 \\ 0 & e^\frac{1}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} e^{-\frac{3}{2}}+e^{-\frac{1}{2}} & -e^{-\frac{3}{2}}+e^{-\frac{1}{2}} \\ -e^{-\frac{3}{2}}+e^{-\frac{1}{2}} & e^{-\frac{3}{2}}+e^{-\frac{1}{2}} \end{bmatrix} $

iii) $ \lambda _1=-\frac{1}{2} \lambda _2=-\frac{3}{2}\\ stable \\ X(t)\rightarrow X(\infty) \\ as \\ t\rightarrow \infty $ $ e^{At}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} e^{-\frac{3}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t} & e^{-\frac{3}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t} \\ e^{-\frac{3}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t} & e^{-\frac{3}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t} \end{bmatrix} t\rightarrow \infty e^{At}\rightarrow\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ $ X(t)=e^{At}X(0)+\begin{matrix} \int_{0}^{t}e^{A(t-I)}BU dI \end{matrix} =e^{At}X(0)+\begin{matrix} \int_{0}^{t}e^{A(t-I)}dI BU \end{matrix} $ $ X(\infty)=e^(Atrightarrow\infty)X(0)+0Bu=X(0)=\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} $

(b)$ X(t)=\begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2}\\ 0 & \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 // 0 // 0// \end{bmatrix}U(t) $


ii) Can’t resolve the rest of questions

Alumni Liaison

Meet a recent graduate heading to Sweden for a Postdoctorate.

Christine Berkesch